Hugo માં ગણિતીય નોટેશન KaTeX દ્વારા શક્ય બને છે.

KaTeX નો ઉપયોગ કરવા માટે તમારા પેજમાં math: true ફ્રન્ટમેટર સેટ કરો. પછી સ્ટાન્ડર્ડ LaTeX ડિલિમિટર્સનો ઉપયોગ કરો:

• ઇનલાઇન ગણિત માટે: $...$
• બ્લોક ગણિત માટે: $...$

ઉદાહરણો

ઇનલાઇન ગણિત: $\varphi = \dfrac{1+\sqrt5}{2}= 1.6180339887…$

સોનેરી માધ્યમ (Golden Ratio):

$$\varphi = \dfrac{1+\sqrt5}{2}= 1.6180339887…$$

અનંત અપૂર્ણાંક (Continued Fraction):

$$\varphi = 1+\frac{1} {1+\frac{1} {1+\frac{1} {1+\cdots} } }$$

મેટ્રિક્સ (Matrix):

$$\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}$$

આ ઉપરાંત વધુ ગણિતીય સૂત્રો માટે KaTeX ની મુલાકાત લો.

ડિફરેન્શિયલ સમીકરણો સમજવું: એક ગણિતીય પ્રવાસ

ડિફરેન્શિયલ સમીકરણો એ શક્તિશાળી સાધનો છે જે વિજ્ઞાન, ઇજનેરી અને અર્થશાસ્ત્રમાં ઘણી ઘટનાઓને મોડેલ કરવામાં મદદ કરે છે. આ પોસ્ટમાં, હું ઇનલાઇન અને બ્લોક ગણિત બંને સાથે કેટલીક મુખ્ય વિભાવનાઓ પર ચાલીશ.

મૂળભૂત બાબતો

ડિફરેન્શિયલ સમીકરણ એક ફંક્શનને તેના ડેરિવેટિવ્સ સાથે જોડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સરળ સમીકરણ $y' = 2x$ આપણને કહે છે કે $x$ ના સંદર્ભમાં $y$ નો પરિવર્તન દર $2x$ ની બરાબર છે.

આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે:

$y = x^2 + C$

જ્યાં $C$ એ ઇન્ટિગ્રેશનનો અચળાંક છે.

પ્રથમ-ક્રમના લીનિયર ડિફરેન્શિયલ સમીકરણો

પ્રથમ-ક્રમના લીનિયર ડિફરેન્શિયલ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

ઉકેલ ઇન્ટિગ્રેટિંગ ફેક્ટર $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. બંને બાજુઓને $\mu(x)$ દ્વારા ગુણાકાર કરતાં:

$\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$

આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:

$\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)Q(x)$

બંને બાજુઓનું ઇન્ટિગ્રેશન:

$\mu(x)y = \int\mu(x)Q(x)dx + C$

તેથી:

$y = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int\mu(x)Q(x)dx + C\right]$

દ્વિતીય-ક્રમના ડિફરેન્શિયલ સમીકરણો

દ્વિતીય-ક્રમના લીનિયર ડિફરેન્શિયલ સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે:

$a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)$

જ્યારે $f(x) = 0$ હોય, ત્યારે આપણી પાસે એક સમરૂપ સમીકરણ હોય છે. અચળાંક ગુણાંકો $a$, $b$, અને $c$ માટે, આપણે $y = e^{rx}$ ના સ્વરૂપમાં ઉકેલ અજમાવી શકીએ છીએ, જે ચારિત્રિક સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે:

$ar^2 + br + c = 0$

મૂળ $r_1$ અને $r_2$ સામાન્ય ઉકેલ નક્કી કરે છે:

$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$

જ્યારે $r_1 = r_2$ હોય, ત્યારે ઉકેલ બને છે:

$y = (C_1 + C_2x)e^{r_1x}$

અને જ્યારે મૂળ જટિલ હોય, $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$, ઉકેલ છે:

$y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$

ફૂરિયર ટ્રાન્સફોર્મ

ફૂરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ ચોક્કસ ડિફરેન્શિયલ સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક અદ્ભુત સાધન છે. $f(t)$ ફંક્શન માટે, તેનું ફૂરિયર ટ્રાન્સફોર્મ $F(\omega)$ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt$

અને વ્યસ્ત ટ્રાન્સફોર્મ છે:

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$

એક શક્તિશાળી ગુણધર્મ એ છે કે સમય ડોમેઇનમાં ડિફરન્શિએશન ફ્રિક્વન્સી ડોમેઇનમાં $i\omega$ દ્વારા ગુણાકારને અનુરૂપ છે:

$\mathcal{F}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = i\omega F(\omega)$

હીટ સમીકરણ

એક પરિમાણમાં હીટ સમીકરણ છે:

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

જ્યાં $u(x,t)$ એ સ્થાન $x$ અને સમય $t$ પર તાપમાન છે, અને $\alpha$ થર્મલ ડિફ્યુઝિવિટી છે.

સામાન્ય ઉકેલ ફૂરિયર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે:

$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-\alpha n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)$

જ્યાં $B_n$ એ અચળાંકો છે જે પ્રારંભિક શરતો દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે.

મને આશા છે કે આ પોસ્ટ તમને ચકાસવામાં મદદ કરશે કે શું તમારી સાઇટ $E = mc^2$ જેવા ઇનલાઇન ગણિત અને નીચેના જેવા બ્લોક સમીકરણો બંનેને યોગ્ય રીતે રેન્ડર કરી શકે છે:

$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$

ઇનલાઇન અને બ્લોક ગણિતનું આ મિશ્રણ તમારી વેબસાઇટની LaTeX રેન્ડરિંગ ક્ષમતાઓ માટે એક સારો ટેસ્ટ કેસ આપવું જોઈએ!